· SAT 수학 노트 · 자료 분석 · 5 min read
산점도와 추세선, 무엇을 읽어야 하나
점이 흩어진 그래프에 직선을 하나 그어 놓고 묻습니다. 기울기와 절편이 무엇을 뜻하는지만 알면 계산 없이 풀립니다.
Problem-Solving and Data Analysis 영역에서 산점도(scatterplot)는 빠지지 않습니다. 그런데 실제로 계산을 요구하는 경우는 드뭅니다. 그래프를 읽을 줄 아느냐를 묻습니다.
추세선이 뜻하는 것
흩어진 점들 사이를 지나는 직선을 추세선(line of best fit) 또는 회귀직선이라고 합니다. 자료의 전반적인 경향을 하나의 일차식으로 요약한 것입니다.
- 기울기 — 가 1 늘어날 때 가 평균적으로 얼마나 변하는가
- 절편 — 일 때의 예측값
문제는 거의 항상 이 둘 중 하나를 묻습니다. 단위를 붙여 읽는 게 핵심입니다. 가 “공부 시간(시간)”, 가 “점수”라면 기울기는 시간당 점수 상승폭입니다.
예측값과 실제값
산점도 문제에서 자주 나오는 표현이 있습니다.
- predicted value — 추세선 위의 값 (직선에 대입한 결과)
- actual value — 실제로 찍혀 있는 점의 값
- residual(잔차) — 실제값 − 예측값
” 일 때 실제값은 예측값보다 얼마나 큰가”를 묻는다면, 점의 좌표에서 직선의 값을 빼면 됩니다. 점이 직선 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수입니다.
상관관계의 방향과 세기
| 모양 | 뜻 |
|---|---|
| 점들이 오른쪽 위로 | 양의 상관 |
| 점들이 오른쪽 아래로 | 음의 상관 |
| 직선 주위에 촘촘 | 강한 상관 |
| 넓게 퍼짐 | 약한 상관 |
상관관계는 인과관계가 아닙니다. SAT가 이걸 직접 묻는 경우가 있습니다. “공부 시간과 점수에 강한 양의 상관이 있다”는 것이 “공부가 점수를 올린다”는 증명은 아닙니다. 선택지에 인과를 단정하는 문장이 있으면 대개 오답입니다.
내삽과 외삽
- 내삽(interpolation) — 자료 범위 안에서 예측. 비교적 믿을 만합니다.
- 외삽(extrapolation) — 범위 밖으로 예측. 근거가 약합니다.
자료가 ~ 구간인데 을 예측하라고 하면, 계산은 되지만 신뢰할 수 없습니다. “이 예측이 적절하지 않은 이유는?” 같은 문제의 답이 여기입니다.
표본과 일반화
자료 분석 영역에는 조사 설계를 묻는 문제도 섞여 나옵니다.
- 무작위 표본이어야 전체 집단으로 일반화할 수 있습니다.
- 무작위 배정이 있어야 인과를 말할 수 있습니다.
- 특정 집단에서만 뽑은 표본은 그 집단까지만 결론이 미칩니다.
“한 고등학교 학생 100명을 조사했다”면 결론은 그 학교에 대해서만 유효합니다. “전국 고등학생”으로 확대하는 선택지는 틀린 것입니다.
실수하는 지점
축의 단위를 안 보기. 축이 1000명 단위인데 그대로 읽으면 답이 1000배 틀립니다. 그래프 문제는 축 라벨부터 확인하세요.
기울기와 절편을 바꿔 읽기. “시작값”은 절편, “증가율”은 기울기입니다.
눈금 사이를 대충 읽기. 산점도에서 정확한 좌표를 묻는다면 눈금선을 따라가며 확인해야 합니다. Desmos를 켤 필요는 없지만 눈대중은 위험합니다.
사진: RDNE Stock project / Pexels
