원의 방정식, 완전제곱으로 되돌리기

Geometry and Trigonometry 영역의 비중은 15% 정도지만, 그 안에서 원의 방정식이 차지하는 자리는 꽤 큽니다. 그리고 문제 형태가 거의 정해져 있습니다 — 전개된 식을 주고 중심이나 반지름을 묻습니다.

기본 꼴

중심이 $(h, k)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원은

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

이 꼴이면 중심과 반지름이 그냥 보입니다. 문제는 시험에서 이 꼴로 안 준다는 겁니다.

예를 들어 이런 식이 주어집니다.

x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0

$x$ 끼리, $y$ 끼리 모읍니다.

(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11

각 괄호를 완전제곱으로 만듭니다. 일차항 계수의 절반을 제곱해서 더합니다.

양변에 똑같이 더해야 합니다.

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 11 + 9 + 16

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36

중심 $(3, -4)$ , 반지름 $6$ . 끝입니다.

부호를 조심하세요. $(y + 4)^2$ 이므로 $k = -4$ 입니다. 여기서 틀리는 학생이 많습니다.

우변이 $36$ 이라고 반지름을 36으로 쓰면 안 됩니다. $r^2 = 36$ 이므로 $r = 6$ 입니다. 문제가 “지름”을 물으면 다시 2배 해서 12입니다. 무엇을 묻는지 마지막에 한 번 더 확인하세요.

두 점 사이의 거리

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

“원 위의 점과 중심 사이의 거리”는 곧 반지름입니다. 원 위의 한 점이 주어지면 반지름을 이 식으로 구할 수 있습니다.

중점

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

지름의 양 끝점이 주어지면 중점이 곧 원의 중심입니다.

점이 원 안인지 밖인지

중심과의 거리를 반지름과 비교하면 됩니다. 작으면 안쪽, 같으면 원 위, 크면 바깥입니다.

전개된 식을 그대로 입력해도 Desmos가 원을 그려 줍니다. 완전제곱으로 정리한 결과가 맞는지 검산할 때 유용합니다. 중심 좌표에 점을 하나 찍어 보면 정말 가운데인지 눈으로 확인됩니다.

다만 시험에서는 손으로 정리하는 편이 대개 빠릅니다. 완전제곱 과정 자체가 30초면 끝나기 때문입니다. Desmos는 답이 애매할 때 확인용으로 쓰세요.

시험 화면의 Reference에는 원의 넓이·둘레 공식은 있지만, 원의 방정식은 없습니다. 이건 외워야 합니다. 거리 공식과 중점 공식도 마찬가지입니다.

사진: Ira / Pexels